Application multilinéaire

Définition

Définition :
Soient $E_1,\ldots,E_p$ des espaces vectoriels et $E=E_1\times\cdots\times E_p$
Soit $x\in E,x=(x_1,\ldots,x_p)$ avec $x_i\in E_i$
Soit $f:E\to F$ une application
Si pour tout $i\in\{1,\ldots,p\}$ fixé,
Pour tout $x_j\in E_j$ (avec $j\in\{1,\ldots,p\}$) (variable muette)
Pour tout $y_i\in E_i$,
Pour tout $\lambda\in{\Bbb R}$ (ou ${\Bbb C}$), on a : $$f(x_1,\ldots,x_{i}+\lambda y_{i},\ldots,x_p)=f(x_1,\ldots,x_i,\ldots,x_p)+\lambda f(x_1,\ldots,x_{i-1},y_i,x_{i+1},\ldots,x_p)$$ alors on dit que $f$ est une application $p$-linéaire
(Espace vectoriel, Produit scalaire, //Fonction linéaire)

Cas particuliers

Fonction antisymétrique - Fonction anti-symétrique
Forme bilinéaire

Exemples

Si $E_1={\Bbb R}^2$ et $E_2={\Bbb R}^3$, $$E_1\times E_2=\left\{\left(\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix}\right)\;\middle|\;x,y\in{\Bbb R}\right\}\approx{\Bbb R}^5$$ $f:{\Bbb R}^2\times{\Bbb R}^3\times{\Bbb R}^2\to{\Bbb R}^2$ $$f\left(\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\end{pmatrix},\begin{pmatrix} y_1\\ y_2\\ y_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix} z_1\\ z_2\end{pmatrix}\right)=\begin{pmatrix} 2x_1y_2z_2-3x_2y_2z_1+\sqrt2x_1y_2z_1\\ \sqrt2 x_2y_3z_2\end{pmatrix}$$
Si on fixe $y$ et $z$, $$f(x)=\begin{pmatrix} a_1+a_2x_1+a_3x_2\\ a_4x_2\end{pmatrix}\quad\text{ avec }\quad\begin{align} a_1&=2y_2z_2\\ a_2&=\sqrt2 y_1z_1\\ a_3&=-3y_2z_1\\ a_4&=\sqrt2y_3z_3\end{align}$$
$f$ est $3$-linéaire

Math'φsics

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